CURVAS DE NIVEL Y CURVAS HORIZONTALES
CURVAS DE NIVEL
Las curvas de nivel son líneas de
mapas que unen puntos, estos puntos tienen igualdades de condiciones.
Por ejemplo, la profundidad o la altitud del mar en su
nivel. Estás curvas van impresas en los mapas con un color “siena” para describir
los terrenos. El color azul es utilizado para describir un glaciar además
de las profundidades del mar.
Las impresiones para el relieve se acentúan en
una característica “sombreada” lo que hace una simulación de las
sombras y esto crea la iluminación de los
relieves provenientes desde el norte o inclusive del noroeste.
Cuando se habla de los mapas de tipo “murales” y las
superficies que están en dos curvas denominada de nivel estás
se imprimen haciendo uso de tintas que en la actualidad se
denominan como convencionales.
Estás tintas de tipo convencionales llevan el nombre de hipsométricas. Dentro de los distintos colores usados para estás impresiones se encuentran los siguientes:
- Las depresiones
son de un verde oscuro cuando estás están ubicadas debajo de los
niveles del mar.
- Cuando
las altitudes son medias se usa el color verde pero no
oscuro sino un poco más claro.
- Si
las altitudes son más grandes se usa color siena intenso.
- Cuando hay
cumbres de tierra que se denominan mayores se usa el
color violeta o hasta el rojo.
Curvas de Nivel en la Topografía
Las curvas de nivel sin duda son una
parte fundamental de la topografía, estás ayudan en gran medida a
la representación de los relieves en los mapas como se
mención anteriormente en este artículo.
Los topógrafos hacen usos para las
distintas actividades de esta técnica (topografía) los sistemas que
son denominados en la actualidad como bidimensionales, esto
sucedo sobre el eje X y el eje Y. El eje de ala altura se representa con
Z.
En la topografía las curvas de nivel se pueden definir
así: Las distintas elevaciones de algún terreno
se refleja en un mapa de tipo topográfico a través de las líneas que
se usan para unir con los planos de referencia. Esto es lo
que se conoce con las curvas de nivel.
Las curvas de nivel
se pueden clasificar en distintos tipos, para hacer que el lector
tenga toda la información correcta con respecto a
las curvas de nivel, acá
se describirán los distintos tipos de curva de nivel, estos
tipos son los siguientes descritos:
- La
Curva de Nivel Clinográfica: Es un diagrama de distintas curvas el cual
representa un valor denominado “medio” de las distintas pendientes en
distintos puntos de los terrenos y esto en función a las alturas.
- Curva
de Nivel de Configuración: En este tipo de curva las líneas se utilizan las
líneas para que el lector tenga una idea muy aproximada a las formas que
tiene un relieve en un terreno y esto se da sin numeración alguna de su
altitud, esto se debe a que no hay un respaldo para las medidas y la
precisan de las mismas.
- Curva
de Nivel de Depresión: Está curva es utilizada mediante un tipo de líneas
que se denomina como “discontinuas” o también normales pequeñas para que
se haga la señalización de las áreas consideradas como “áreas de depresión”
de tipo topográfica.
- La
Curva de Nivel Normal: Es una línea que en los mapas o incluso planos enlaza cada punto que
tenga la misma distancia a nivel vertical, en cota o altitud.
- Curva
de Nivel de pendiente: Es un diagrama formado por curvas el cual hace
representación de las distintas inclinaciones del terreno que son causadas
por las distancias entre las distintas curvas denominadas de nivel.
- La
Curva de Nivel hipsométrica: Es un diagrama compuesto de curvas el cual es
utilizado para da indicación de una proporción de las superficies que
tienen laguna correspondencia con la altitud del terreno. Su eje vertical
directamente logra representar la altitud, por su parte lo que es
considerado como el eje vertical representa la superficie o el porcentaje
de esta.
- Curva
de Nivel de tipo Intercalada: Está curva denominada de nivel es la que se agrega
en dos curvas de nivel normales (entre las mismas) cuando hay una
separación de estas curvas y las misma se califica como grande para que
así se cree una representación de tipo cartográfica de forma clara.
- La
Curva de Nivel maestra: Esta curva se caracteriza por que cada cota de la misma es múltiple
de lo que se conoce como equidistancia. Esta es una de las curvas de nivel
más conocida por las Universidades.
Las anteriores son todos los tipos de curva
de nivel que se pueden encontrar, si hay alguna otra tal vez la
misma no sea muy usada en el mundo.
i.
Beneficios de las Curvas de Nivel
Sin duda estás curvas son muy beneficiosas o
ventajas para muchos profesionales de la ingeniería civil, la topografía y
algunas otras, dentro de
las principales ventajas o beneficio de los usos de
estás distintas, curvas se encuentran las siguientes descritas:
- Estás no hacen
que el dibujo o trazado este “cargado” con grandes cantidades de
números. Esto se debe a que cuando se colocan algunos pocos en
los alrededores de las curvas da de una manera completa los datos para
que se conozca la altura de las curvas.
- Estás
brindan los niveles de cada punto en donde cada curva
de nivel es trazada de esta manera es muy fácil la deducción de
los puntos considerados intermedios.
- Las curvas de nivel muestran las
estructuras generales de cada terreno ya que las entrantes como las
salientes pueden dar a conocer muchas de sus líneas consideradas
características y además determinan con gran claridad las
distintas elevaciones de un punto sobre otro.
ii.
Determinación de la configuración topográfica del Terreno
En la determinación de la configuración topográfica del
terreno, vamos a ver algunos elementos que hay que tener presente para poder
interpretar un mapa con curvas de nivel.
a) La distancia horizontal entre las curvas de nivel es
inversamente proporcional a la pendiente, lo que quiere decir que las curvas de
nivel con espacios pequeños entre sí, indican una pendiente escarpada.
b) Las curvas de nivel con espacios anchos entre sí,
indican una pendiente suave.
c) Las curvas de nivel con espacios iguales entre sí,
indican una pendiente uniforme.
d) En una superficie plana las curvas de nivel son
rectas.
e) En una superficie plana, no horizontal, son rectas y
paralelas entre sí.
f) Las elevaciones están determinadas por una serie de
curvas cerradas que van aumentando su elevación hacia el centro.
g) Las depresiones están determinadas por una serie de
curvas cerradas que van disminuyendo su elevación hacia el centro.
iii.
Características de las curvas de Nivel
Al momento de graficar las curvas de nivel, se debe tener
presente lo siguiente:
a) Todos los puntos situados sobre una curva de nivel se
encuentran a una misma altura o elevación.
b) Cada curva de nivel cierra en sí misma, ya sea dentro
o fuera de los límites del plano o mapa.
c) Las curvas de nivel nunca se ramifican o bifurcan.
d) Las curvas de nivel nunca se cruzan entre sí, excepto
en cuevas o algunos salientes de acantilados.
e) Una curva de nivel no puede estar situada entre otras
dos de mayor o menor cota que ella.
iv.
Levantamiento de Curvas de Nivel
Para poder dibujar las curvas de nivel en un plano, se
necesitan los datos de las elevaciones del terreno de los puntos de apoyo. El
levantamiento de estos puntos de apoyo, se puede realizar por el método de
cuadrículas o por el método de secciones transversales.
a) Método de las cuadrículas: como su nombre lo indica
consiste en cuadricular el terreno (bien puede ser cuadrados o rectángulos) y
determinar las elevaciones de cada vértice de la cuadrícula por nivelación.
b) Método de secciones transversales: este es el método más empleado en canales, caminos, vías férreas, etc. Se emplea cuando la sección longitudinal tiene una distancia bastante considerada y la sección transversal es pequeña como es el caso de canales, caminos, etc. El trabajo de campo determina las elevaciones de la línea central (sección longitudinal) y las elevaciones de puntos situados perpendicularmente a la línea central (secciones transversales).
v. Interpolación de Curvas de Nivel
La operación de distribuir las curvas de nivel
proporcionalmente entre los vértices de las cuadrículas o entre los puntos de
cota conocida, se llama interpolación. Se debe estar claro que, cuando vamos a
interpolar curvas de nivel, éstas deben tener una diferencia de elevación o
desnivel (Distancia Vertical) entre una curva y otra consecutiva, igual al Intervalo
Vertical (IV).
Por ejemplo: si se define un Intervalo Vertical de 0.5m
en una cuadrícula que tiene las siguientes elevaciones (ver figura):
Las curvas de nivel que pasan entre el vértice A y el B
son las curvas de nivel con elevación 55.00m, 55.50m y 56.00m. Las que pasarán
entre el vértice B y el C son las 55.50m y 56.00m. Las que pasarán entre el
vértice C y el D serán las 53.00m, 53.50m, 54.00m, 54.50m y la 55.00m y las
curvas que pasarán entre el vértice D y el A serán la 53.00m, 53.50m, 54.00m y
la 54.50m.
Si el intervalo vertical a graficar o interpolar es de
0.25m las curvas de nivel que pasan entre el vértice B y C son: 55.50m, 55.75m,
56.00m y 56.25m, y así para los demás.
En el mismo ejemplo si el intervalo vertical a graficar o
interpolar es de 1m las curvas de nivel que pasan entre D y C son: 53.00m, 54.00m
y 55.00m.
Obtención de distancias entre curvas:
Si tenemos la siguiente figura:
Para el lado B-A:
Distancia horizontal (DH) = 20m
Diferencia de nivel (DN) = 85.60m - 83.40m = 2.2m.
Las curvas de nivel que pasan con intervalo vertical de
1m en el lado B-A, son la 84 .00m y la 85.00m.
Ubicación de la curva de nivel 84.00m:
Primero se determina la diferencia de nivel desde el vértice B a la curva de nivel con elevación 84.00m, esto es: DN = 84.00m - 83.40m = 0.6m.
Luego se determina la distancia horizontal para la curva de nivel 84.00m a partir del vértice B, para ello se plantea una regla de tres.
Si en 20m (DH) hay una DN de 2.2m, entonces, cuantos
metros habrán (Xm), para una
DN de 0.6m, por lo que nos queda:
Xm = (0.6m) (20m) / 2.2m = 5.45m, que es la distancia a la cual se encontrará del vértice B, la curva de nivel 84.00m en dirección al vértice A.
Ubicación de la curva de nivel 85.00m:
Primero se determina la diferencia de nivel desde el vértice Ba la curva de nivel con elevación 85.00m, esto es: DN = 85.00m - 83.40m = 1.6m.
Luego se determina la distancia horizontal para la curva de nivel 85.00m a partir del vértice B, para ello se plantea una regla de tres.
Si en 20m (DH) hay una DN de 2.2m, entonces, cuantos
metros habrán (Xm), para una
DN de 1.6m, por lo que nos queda:
Xm = (1.6m) (20m) / 2.2m = 14.55m, que es la distancia a la cual se encontrará del vértice B, la curva de nivel 85.00m en dirección al vértice A.
Lado B-C:
Distancia horizontal (DH) = 20m
Diferencia de nivel (DN) = 85.50m - 83.40m = 2.1m.
Las curvas de nivel que pasan con intervalo vertical 1m
en el lado B-C, son la 84.00m y la 85.00m
Ubicación de la curva de nivel 84.00m:
Primero se determina la diferencia de nivel desde el
vértice B a la curva de nivel con elevación 84.00m, esto es: DN = 84.00m -
83.40m = 0.6m.
Luego se determina la distancia horizontal para la curva
de nivel 84.00m a partir del vertice B, para ello se plantea una regla de tres.
Si en 20m (DH) hay una DN de 2.1m, entonces, cuantos
metros habrán (Xm), para una
DN de 0.6m, por lo que nos queda:
Xm = (0.6m) (20m) / 2.1m = 5.71m, que es la distancia a
la cual se encontrará del vértice
B, la curva de nivel 84.00m en dirección de C.
Ubicación de la curva de nivel 85.00m:
Primero se determina la diferencia de nivel desde el
vértice B a la curva de nivel con elevación 85.00m, esto es: DN = 85.00m -
83.40m = 1.6m.
Luego se determina la distancia horizontal para la curva
de nivel 85.00m a partir del vertice B, para ello se plantea una regla de tres.
Si en 20m (DH) hay una DN de 2.1m, entonces, cuantos
metros habrán (Xm), para una
DN de 1.6m, por lo que nos queda:
Xm = (1.6m) (20m) / 2.1m = 15.24m, que es la distancia a
la cual se encontrará del vértice
B, la curva de nivel 85.00m en dirección de C.
Lado C-D:
Distancia horizontal (DH) = 20m
Diferencia de nivel (DN) = 87.80m - 85.50m = 2.3m.
Las curvas de nivel que pasan con intervalo vertical 1m
en el lado C-D, son la 86.00m y la 87.00m
Ubicación de la curva de nivel 86.00m:
Primero se determina la diferencia de nivel desde el
vértice C a la curva de nivel con elevación 86.00m, esto es: DN = 86.00m - 85.50m
= 0.5m.
Luego se determina la distancia horizontal para la curva
de nivel 86.00m a partir del vértice C, para ello se plantea una regla de tres.
Si en 20m (DH) hay una DN de 2.3m, entonces, cuantos
metros habrán (Xm), para una
DN de 0.5m, por lo que nos queda:
Xm = (0.5m) (20m) / 2.3m = 4.35m, que es la distancia a
la cual se encontrará del vértice
B, la curva de nivel 86.00m en dirección de D.
Ubicación de la curva de nivel 87.00m:
Primero se determina la diferencia de nivel desde el
vértice C a la curva de nivel con elevación 85.00m, esto es: DN = 87.00m - 85.50m
= 1.5m.
Luego se determina la distancia horizontal para la curva
de nivel 87.00m a partir del vértice C, para ello se plantea una regla de tres.
Si en 20m (DH) hay una DN de 2.3m, entonces, cuantos
metros habrán (Xm), para una
DN de 1.5m, por lo que nos queda:
Xm = (1.5m) (20m) / 2.3m = 13.04m, que es la distancia a
la cual se encontrará del vértice
C, la curva de nivel 87.00m en dirección de D.
Lado A-D:
Distancia
horizontal (DH) = 20m
Diferencia
de nivel (DN) = 87.80m - 85.60m = 2.2m.
Las curvas de nivel que pasan con intervalo vertical 1m
en el lado A-D, son la 86.00m y la 87.00m
Ubicación de la curva de nivel 86.00m:
Primero se determina la diferencia de nivel desde el
vértice A a la curva de nivel con elevación 86.00m, esto es: DN = 86.00m - 85.60m
= 0.4m.
Luego se determina la distancia horizontal para la curva
de nivel 86.00m a partir del vértice A, para ello se plantea una regla de tres.
Si en 20m (DH) hay una DN de 2.2m, entonces, cuantos
metros habrán (Xm), para una
DN de 0.4m, por lo que nos queda:
Xm = (0.4m) (20m) / 2.2m = 3.64m, que es la distancia a
la cual se encontrará del vértice
A, la curva de nivel 86.00m en dirección de D.
Ubicación de la curva de nivel 87.00m:
Primero se determina la diferencia de nivel desde el
vértice A a la curva de nivel con elevación 85.00m, esto es: DN = 87.00m - 85.50m
= 1.4m.
Luego se determina la distancia horizontal para la curva
de nivel 87.00m a partir del vértice A, para ello se plantea una regla de tres.
Si en 20m (DH) hay una DN de 2.2m, entonces, cuantos
metros habrán (Xm), para una
DN de 1.4m, por lo que nos queda:
Xm = (1.4m) (20m) / 2.4m = 12.73m, que es la distancia a
la cual se encontrará del vértice
A, la curva de nivel 87.00m en dirección de D.
Hay que hacer notar, que el punto o vértice de partida
para la interpolación es irrelevante, puede ser de A-B o B-A, C-B o B-C, C-D o
D-C, D-A o A-D. En nuestro caso, la interpolación la hemos realizado
considerando el punto de partida con que ha considerado cada uno de los lados,
como por ejemplo en el lado B-A, el punto de partida o de referencia para hacer
la interpolación es el punto B.
Para nuestro ejemplo, podemos hacer la representación de
las curvas interpoladas, directamente sobre el terreno, ubicando cada una de
las elevaciones, según como se muestran en el siguiente dibujo:
Para representar estas curvas de nivel en un plano, se
procede a aplicar la escala a la cual serán dibujadas las curvas de nivel, en
nuestro caso utilizaremos una de 1:500 y se realizan las respectivas
transformaciones de distancias en el terreno con sus respectivas distancias en
el plano como las mostradas en la tabla siguiente:
Cuadrícula A-B-C-D, Escala = 1:500
|
Lado |
Elevación (m) |
Longitud Terreno (m) |
Longitud Plano (cm) |
|
B-A |
83.40-85.60 |
20.00 |
4.00 |
|
|
84.00 |
5.45 |
1.09 |
|
|
85.00 |
14.55 |
2.91 |
|
B-C |
83.40-85.50 |
20.00 |
4.00 |
|
|
84.00 |
5.71 |
1.14 |
|
|
85.00 |
15.24 |
3.05 |
|
C-D |
85.50-87.80 |
20.00 |
4.00 |
|
|
86.00 |
4.35 |
0.87 |
|
|
87.00 |
13.04 |
2.61 |
|
A-D |
85.60-87.80 |
20.00 |
4.00 |
|
|
86.00 |
3.64 |
0.73 |
|
|
87.00 |
12.73 |
2.55 |
Con las longitudes del plano entonces las medidas quedarán representadas de la siguiente manera:
Cabe señalar, que, para el trazado de las curvas de nivel
en el plano, siempre se debe
de tener presente la configuración del terreno, observada durante el levantamiento de campo.
Método a Estima: conocido también como método al ojo. Este método consiste en interpolar las curvas de nivel de la siguiente manera, la distancia a la que pasa cada curva entre uno y otro vértice de la cuadrícula, se hace de una forma estimada, teniendo la ventaja este método que la interpolación es más rápida que el aritmético.
Ejemplo: interpolar las curvas de nivel en las siguientes
cuadrículas de 20m x 20m, usando un intervalo vertical de 1m.
El resultado es el siguiente:
En el ejemplo podemos notar, que la menor elevación de un vértice de la cuadricula es 1.6m y la mayor 7.9m, por lo tanto, si el intervalo vertical es de 1m., las curvas de nivel que se tienen que dibujar son las que tienen elevación 2, 3, 4, 5, 6 y 7m, ubicando la distancia horizontal entre cada cuadrícula, de una manera aproximada.
Aplicación de las Curvas de Nivel
La interpretación de mapas y planos es de vital
importancia para el ingeniero agrónomo, ya que en su actividad profesional se
verá en la necesidad de leer o interpretar los mapas o planos topográficos con
el fin de tener una idea general de la configuración topográfica del terreno,
por la razón de que esto no es posible visitando el lugar, principalmente
cuando el área es bien extensa y presenta muchos accidentes (diferencias de
elevación). Además de que los mapas y planos contienen los datos necesarios
para realizar estudios preliminares anteproyectos, y proyectos del área que
representan.
A continuación, vamos a ver algunos usos que se le puede
dar a un plano o mapa con información planimétrica.
a) Cálculo
de la Pendiente: si estamos en presencia de un mapa o plano con las curvas de
nivel podemos determinar la pendiente entre dos puntos, ya que del plano o mapa
se pueden calcular la distancia entre los dos puntos en función de la escala
del plano o mapa y la diferencia de elevación entre los dos puntos en función
de las curvas de nivel.
La pendiente o gradiente, quedaría definida por: :
GP = DN/DH= Cota final - Cota Inicial
/ Distancia horizontal
b) Perfil de
una línea trazada en el plano: para obtener el perfil del terreno de un plano o
mapa con las curvas de nivel se traza sobre el plano la recta A-B que define la
línea central del perfil longitudinal y luego se dibuja una escala de
referencia de las elevaciones donde se ubican las intersecciones de las curvas
de nivel con la recta A-B. Uniendo los puntos sobre la escala de referencia se
obtiene el perfil.
Para comprender mejor esto, vamos a ver un ejemplo; en el
siguiente plano con las curvas de nivel, determinar el perfil de la recta A-B.
Como podemos observar en el gráfico, el perfil se dibuja
en la escala de referencia de las elevaciones, que para este caso se utilizó
una escala de 50 a 100 que son la menor y mayor elevaciones que tienen el plano
de las curvas de nivel; en los puntos donde se interceptan las curvas con la
recta A-B, se bajan perpendiculares a la escala de referencia, ubicando cada
punto con su respectiva elevación, para luego unir a mano alzada todos los
puntos y de esta forma obtener el perfil.
c) Cálculo
de la capacidad de un embalse en una presa: la capacidad de embalse de una presa,
es el volumen de agua expresado en metros cúbicos que se puede almacenar.
La construcción de una presa siempre se realiza en el lugar más estrecho entre dos vertientes y donde sea posible lograr el mejor volumen de embalse dentro de la cuenca, siempre y cuando las condiciones geológicas del terreno permitan su construcción. Para el cálculo del volumen de almacenamiento, vamos a ver un ejemplo. En el plano siguiente, aparecen las curvas de nivel con un intervalo vertical de 10 metros y el área de la presa o vaso de almacenamiento, la cual será limitada por la curva de nivel 500 y la cortina de la presa.
Para calcular el volumen se hace por volúmenes parciales,
comprendidos entre las laderas y los planos horizontales que pasan entre dos
curvas de nivel sucesivas y la presa. De esta forma podemos decir que el V1
sería igual al área promedio definida por la curva 500 y 490 multiplicada por
la altura que existe entre estas dos curvas, que sería igual al intervalo
vertical, el área entre las curvas se determina con el planímetro o por la maya
de puntos u otro método para calcular áreas en los planos. El V2 será igual al
área promedio comprendida entre las curvas 490 y 480 multiplicada por el
intervalo vertical. El V3 será igual al área promedio comprendida entre las
curvas 480 y 470 multiplicada por el intervalo vertical. El V4 será igual al
área promedio comprendida entre las curvas 470 y 460 multiplicada por el
intervalo vertical, y el volumen total será igual a la suma de los volúmenes
parciales.
Video como interpolar y dibujar las curvas de nivel
CURVAS HORIZONTALES
La planta de una vía al igual que el perfil de la misma están constituidos por tramos rectos que se empalman por medio de curvas. Estas curvas deben de tener características tales como la facilidad en el trazo, económicas en su construcción y obedecer a un diseño acorde a especificaciones técnicas.
Estas curvas pueden ser:
Simples:
Cuyas deflexiones pueden
ser derechas o izquierdas acorde a la posición que ocupa la curva en el eje de
la vía.
Compuestas: Es curva circular constituida con una o más curvas
simples dispuestas una después de la otra las cuales tienen arcos de
circunferencias distintos.
Inversas: Se coloca una curva después de la otra en sentido
contrario con la tangente común.
De transición: esta no es circular pero sirve de transición o unión entre la tangente y la curva circular.
Elementos de las curvas circulares
PC: es el punto de comienzo o inicio de la curva.
PT: es el punto donde terminara la curva circular.
PI: Punto donde se cortan los alineamientos rectos que
van a ser empalmados por la curva. Intersección de tangentes.
PM: Es el punto medio de la curva.
E: Secante externa o simplemente Externa equivalente a la
distancia desde el PI al PM.
T: Tangente de la curva.
Es el segmento de recta entre PC-PI y PT-PI el cual es simétrico.
R: Radio de la curva. Este es perpendicular a PC y PT.
Este se elige acorde al caso, tipo de camino, vehículo, velocidad y otros más
que estudiaremos posteriormente en el transcurso de nuestra carrera.
D o LC: es el
desarrollo de la curva o longitud sobre la curva el cual está comprendido desde
el PC al PT.
CM: es la cuerda máxima dentro de la curva que va desde
el PC al PT medida en línea recta.
M: es la mediana de la curva la cual corresponde a la
ordenada de a la curva que une el al PM con el centro de la cuerda máxima
Δ: Es el ángulo central de la curva que es igual al ángulo
de deflexión entre los dos alineamientos rectos y se puede calcular por la
diferencia del azimut de llegada y el de salida.
G°c: Este se define como un ángulo central que subtiende un arco de 20 m. Este y el Radio están siempre en razón inversa. El grado de curvatura Gc, está definido como el ángulo central que subtiende un arco de longitud establecida (LE), que, para el caso de Nicaragua, se utiliza y/o está establecido de 20m.
De todos estos elementos se establecen las siguientes relaciones:
Relación entre la tangente y el radio.
Relación entre la curva máxima y el radio.
Relación entre la mediana y el radio.
Relación entre la externa y el radio.
Relación entre el desarrollo y el radio.
Grado de curvatura.
De donde:
R = T/ tan Δ/2
G°c = (20°* 360°)/(2Π R) = 1145.92/R
DC = 20 * Δ / G°c = Π RΔ /180
CM = 2 R Sen Δ/2
E = R (Sec Δ/2 -1) = R
[(1/Cos(Δ/2) - 1]
M = R ( 1 – Cos Δ/2
)
Est PC = Est PI – T
Est. PI = Est. PC+ T
Est. PM = Est. PC
+ DC/2
Est PT = Est
PC + DC
Proyección de las curvas circulares
Se puede realizar de cualquiera de las dos siguientes formas:
- Trazamos el radio y escogemos la curva que mejor se adapte calculando posteriormente su radio de curvatura.
- Empleamos curvas de determinado radio de curvatura y calculamos los demás elementos en ella. Siendo este el más recomendado.
Se recomienda el trazo de curvas con radio grande y grado de curvatura pequeño lo que facilitara visibilidad y el trazado de la vía.
Replanteo de curvas circulares
Existen varios métodos para el replanteo de curvas horizontales, sin embargo el método más usado en Nicaragua, México y Estados Unidos es el las Deflexiones por lo que es el que se abordara.
La localización de una curva se hace generalmente por ángulos de deflexión y cuerdas. Los Ángulos de deflexión son los ángulos formados por la tangente y cada una de las cuerdas que parten desde el PC a los diferentes puntos donde se colocaran estacas por donde pasara la curva.
El ángulo de deflexión total para la curva formada por la tangente y la cuerda principal será Δ/2.
De manera general este se calcula por la expresión:
Deflexión por metro = δ/m = (1.50 * G°c * Cuerda)/60
En dependencia de las condiciones "insitu" del terreno se
pueden presentar los siguientes casos:
- Si el desarrollo de curva es menor de 200 m.
Replanteo desde el PC (deflexión Izquierda (ΔI) o deflexión Derecha (ΔD)).
Replanteo desde el PT ((deflexión Izquierda (ΔI) o deflexión Derecha (ΔD)).
- Si el desarrollo de curva es mayor de 200 m
Replanteo desde PC
al PM y del PT al PM. ((Deflexión Izquierda (ΔI) o deflexión Derecha (ΔD)).
El error de cierre permisible para el replanteo de la
curva será:
Angular ± 1’
Lineal ± 10 cm.
Técnicamente no se puede replantear sobre la curva (Arco de circunferencia) es por tal razón que en vez de medir segmentos de arcos se miden segmentos de cuerda; haciendo coincidir sensiblemente estos segmentos de cuerda con los de arco.
Cuerda máxima o corte de cadena a utilizar en el replanteo de curvas horizontales:
|
G°c |
Longitud
de cuerda (m) |
|
00°
00’- 6°00’ |
20.00 |
|
06°
00’- 15°00’ |
10.00 |
|
15°
00’- 32°00’ |
5.00 |
*Esta tabla se calculo a partir de la formula C= 2RSen d’
donde d’ = 1.5 (G°c) L Donde:
C es cuerda para subtender un
arco mayor o menor de 20.
R es el radio de la curva en metros.
d es el ángulo de desviación para el punto a replantear en grados sexagesimales.
d’ es el ángulo de desviación para el punto a replantear en minutos sexagesimales.
G°c es el grado de curvatura en grados
sexagesimales.
L es la longitud de arco de la sub.
cuerda.
Ejemplos
I.
Calcule los elementos de la curva
PC
= 1+200
D
= 32 m
ΔD =
34°
DC = Π RΔ /180
R = 180 DC
/ (ΠΔ)
R = 53.925 m
R = T/ tan Δ/2
T = R tan Δ/2
T = 16.487 m
G°c =1145.92/R
G°c = 21.250
G°c = 21° 15’ 01’’
CM = 2 R Sen Δ/2
CM = 31.532 m
M = R ( 1 – Cos Δ/2 )
M = 2.356 m
E = R (Sec Δ/2 -1) = R
[(1/Cos(Δ/2) - 1]
E = 2. 464 m
Los estacionamientos principales serán:
Est. PI = Est. PC+ T
Est. PI = 1 + 216.487
Est. PT = Est. PC
+ DC
Est. PT = 1 + 232
Debido a que el desarrollo de curva es menor que 200 se
replantea desde el PC al PT.
Como 15° 00’< G°c < 32°00’ entonces debemos usar cuerdas de 5.00 m.
La tabla de replanteo de hará de la siguiente manera:
|
Pto. |
Estación |
Cuerda |
Deflexión |
Deflexión Acumulada |
|
PC |
1+
200 |
- |
00°
00’ |
00°
00’ |
|
|
1+
205 |
5 |
02°
39’ 23’’ |
02°
39’ 23’’ |
|
|
1+
210 |
5 |
02°
39’ 23’’ |
05°
18’ 46’’ |
|
|
1+
215 |
5 |
02°
39’ 23’’ |
07°
58’ 09’’ |
|
|
1+
220 |
5 |
02°
39’ 23’’ |
10°
37’ 32’’ |
|
|
1+
225 |
5 |
02°
39’ 23’’ |
13°
16’ 55’’ |
|
|
1+
230 |
5 |
02°
39’ 23’’ |
15°
56’ 18’’ |
|
|
1+
232 |
2 |
01°
03’ 45’’ |
17°
00’ 03’’ |
δ/m = (1.50 * G°c * Cuerda)/60 δ/m = (1.50 * 21° 15’ 01’’ * 5 m) /60 = 02° 39’ 23’’ δ/m = (1.50 * 21° 15’ 01’’ * 2 m) /60 = 01° 03’ 45’’
Recuerde que 17° 00’ 03’’= Δ/2
Se obtuvo un error de cierre de 03” menor que el
permitido 1’. El cual obedece a la precisión en los cálculos realizados.
II.
Realice el replanteo de la siguiente curva circular:
Estación
PI = 0 + 100.350
ΔD =
26°30’58’’
T
= 60 m
T = R tan Δ/2
R = T/ tan Δ/2
R = (60 m)/( 26°30’58’’
/2) R = 254.650 m.
G°c = (20°* 360°)/(2Π R)
= 1145.92/R
G°c = 1145.92/254.650 m
G°c = 04° 30’
Como 00° 00’< G°c < 6°00’ entonces debemos usar cuerdas de 20.00 m.
DC = 20 * Δ / G°c = Π RΔ /180
DC = 20 * 26°30’58’’ /04° 30’
DC = 117.849 m
Calculo de estaciones principales
Est. PC = Est PI – T
Est. PC = (0 + 100.350) - 60 m
Est. PC = 0 + 40.350
Est. PT = Est
PI + DC
Est. PT = (0 + 40.350) + 117.849 m
Est. PT = 0 + 158.199
Deflexión por metro = δ/m = (1.50 * G°c * Cuerda)/60 δ/m = (1.50 * 04° 30’ * 19.65 m) /60 δ/m = 02° 12’ 38’’
δ/m = (1.50 * 04° 30’ * 20.00 m) /60 δ/m = 02° 15’
Tabla de replanteo de curva
|
Estación |
Cuerda |
Deflexión |
Deflexión Acumulada |
|
|
PC |
0 +
40.350 |
- |
00°
00’ |
00°
00’ |
|
|
0 +
60.000 |
19.650 |
02°
12’ 38’’ |
02°
12’ 38’’ |
|
|
0 +
80.000 |
20.000 |
02°
15’ 00’ |
04°
27’ 38’’ |
|
|
0 +
100.000 |
20.000 |
02°
15’ 00’ |
06°
42’ 38’’ |
|
|
0 +
120.000 |
20.000 |
02°
15’ 00’ |
08°
57’ 38’’ |
|
|
0 +
140.000 |
20.000 |
02°
15’ 00’ |
11°
12’ 38’’ |
|
PT |
0 +
158.199 |
18.199 |
02°
02’ 51’’ |
13°
15’ 29’’ |
13° 15’ 29’’ = Δ/2 (26°30’58’’)/2 = 13° 15’ 29’’
13° 15’ 29’’ = 13° 15’ 29’’ OK.
III.
Replante la siguiente curva
ΔI = 62 °
G°c = 14°
Est. PI = 12 + 543.219
G°c = 1145.92/R ; R =
1145.92/ G°c
R = 81.851 m
T= R tan Δ/2
T = 49.181 m
D = Π RΔ /180
D = 88.571 m
Est PC = Est PI – T
Est PC = 12 + 494.038
Est PT = PC + D
Est PT = 12 +582.609
Como 06° 00’ <
G°c <15°00’entonces debemos usar cuerdas de 10.00 m.
Como la longitud de curva es menor de 200 m se replantea del PC al PT.
δ/m = (1.50 * 14* 10.962 m) /60 = 03° 50’ 12.12’’ δ/m = (1.50 * 14* 10 m) /60 = 03° 30’ 00’’ δ/m = (1.50 * 14* 7.609 m) /60 = 02° 39’ 47.34’’
La tabla de replanteo será de la siguiente manera:
|
Pto. |
Est. |
Cuerda |
deflexión |
Deflexión acum. |
|
PC |
12 +
494.038 |
- |
00°
00’ 00’’ |
30°
59’ 59’’ |
|
|
12 +
505 |
10.962 |
03°
50’ 12’’ |
27°
09’ 47’’ |
|
|
12 +
515 |
10 |
03°
30’ 00’’ |
23°
39’ 47’’ |
|
|
12 +
525 |
10 |
03°
30’ 00’’ |
20°
09’ 47’’ |
|
|
12 +
535 |
10 |
03°
30’ 00’’ |
16°
39’ 47’’ |
|
|
12 +
545 |
10 |
03°
30’ 00’’ |
13°
09’ 47’’ |
|
|
12 +
555 |
10 |
03°
30’ 00’’ |
09°
39’ 47’’ |
|
|
12 +
565 |
10 |
03°
30’ 00’’ |
06°
09’ 47’’ |
|
|
12 +
575 |
10 |
03°
30’ 00’’ |
02°
39’ 47’’ |
|
PT |
12
+582.609 |
7.609 |
02°
39’ 47’’ |
00°
00’ 00’’ |
Nótese que la única diferencia entre una deflexión izquierda o derecha esta en las deflexiones acumuladas que parten desde el PT y deben cerrar en el PC con Δ/2.
Recuerde que 30° 59’ 59’’= Δ/2
Tenemos un error de cierre de 01” menor que el permitido
1’. El cual obedece a la precisión en los cálculos realizados.
IV.
Realice el replanteo de la siguiente curva circular:
Estación
PI = 1 + 000
ΔI =
20°30’
DC = 240 m.
Debido
a que DC es mayor que 200 deberá hacerse el replanteo desde el PC al PM y luego
del PT al PM. DC = 20 * Δ / G°c
G°c = 20 * Δ / DC
G°c = 20 * 20°30’
/ 240
G°c = 01° 42’ 30’’
Como 00° 00’< G°c < 6°00’ entonces debemos usar cuerdas de 20.00 m.
G°c = 1145.92/R
R = 1145.92/ G°c R = 670.782 m.
T = R tan Δ/2
T = 670.782 m tan (20°30’/2) T = 121.297 m.
Calculo de estaciones principales
Est PC = Est PI – T
Est. PC = (1 + 000) – 121.297 m.
Est. PC = 0 + 878.703
Est. PM = Est. PC
+ DC/2
Est. PM = (0 + 878.703)
+ 240/2 m
Est. PM = 0 + 998.703
Est. PT = Est.
PC + DC
Est. PT = (0 + 878.703) + 240 m
Est. PT = 1 +
118.703
Deflexión por metro = δ/m = (1.50 * G°c * Cuerda)/60
δ/m = (1.50 *01° 42’ 30’’ * 21.297 m) /60 δ/m = 00° 54’ 35’’
δ/m = (1.50 *01° 42’ 30’’ * 20.00 m) /60 δ/m = 00° 51’ 15’’
δ/m = (1.50 *01° 42’ 30’’ * 20.00 m) /60 δ/m = 00° 51’ 15’’
δ/m = (1.50 *01° 42’ 30’’ * 18.703 m) /60 δ/m = 00° 47’ 55’’
Tabla de Replanteo
•
PC al PM
|
Estación |
Cuerda |
deflexión |
deflexión
Acumulada |
|
|
PC |
0
+ 878.703 |
- |
- |
05°
07’ 30’’ |
|
|
0
+ 900 |
21.297 |
00°
54’ 35’’ |
04°
12’ 55’’ |
|
|
0
+ 920 |
20.000 |
00°
51’ 15’’ |
03°
21’ 40’’ |
|
|
0
+ 940 |
20.000 |
00°
51’ 15’’ |
02°
30’ 25’’ |
|
|
0
+ 960 |
20.000 |
00°
51’ 15’’ |
01°
39’ 10’’ |
|
|
0
+ 980 |
20.000 |
00°
51’ 15’’ |
00°
47’ 55’’ |
|
PM |
0
+ 998.703 |
18.703 |
00°
47’ 55’’ |
00°
00’ |
05° 07’ 30’’ = Δ/4
05° 07’ 30’’ = 05° 07’
30’’ OK.
•
PT al
PM
|
Estación |
Cuerda |
Deflexión |
Deflexión
Acumulada |
|
|
PM |
0
+ 998.703 |
21.297 |
00°
54’ 35’’ |
05°
07’ 30’’ |
|
|
1
+ 020 |
20.000 |
00°
51’ 15’’ |
04°
12’ 55’’ |
|
|
1
+ 040 |
20.000 |
00°
51’ 15’’ |
03°
21’ 40’’ |
|
|
1
+ 060 |
20.000 |
00°
51’ 15’’ |
02°
30’ 25’’ |
|
|
1
+ 080 |
20.000 |
00°
51’ 15’’ |
01°
39’ 10’’ |
|
|
1
+ 100 |
18.703 |
00°
47’ 55’’ |
00°
47’ 55’’ |
|
PT |
1
+ 118.703 |
- |
- |
00°
00’ |
V.
DATOS:
PI=2+424.60
I=50°49’35” Der.
R=125.00 m
- Cálculo de la Tangente : T
T= 125.00*tg(50°49’35”/2)
T=59.39
- Cálculo de Longitud de Curva : Lc
Lc=(50°49’35”*125.00*Π/180)
Lc= 110.89 m
- Cálculo de la External : Ex
Ex=125.00*(Sec(50°49’35”/2)-1)
Ex
= 13.39m
- Cálculo de las estaciones de los puntos PC y PT
EPC=EPI-T=
(2+424.60)-59.39
EPC=2+365.21
EPT=EPC+Lc=(2+365.21)+110.89
EPT=2+476.10
- Cálculo del Replanteo
En la siguiente tabla se presentan los resultados de
cálculo para el replanteo de la curva en estaciones cada 20.
D/m = 1718.873385 LA/R ; LA= Longitud del arco de cuerda desde el PC al punto a calcular
|
Estacio. |
Punto |
Long. Del
arco ref. Pc |
Angulo De Deflexion |
Cuerda a
Medir |
Angulo Derecho
estac. En el pc. |
|
2+365.21 |
PC |
0.00 |
00°00’00” |
|
|
|
|
14.79 |
|
|
14.78 |
|
|
2+380 |
|
14.79 |
03°23’23” |
|
183°23’23” |
|
|
20 |
|
|
19.98 |
|
|
2+400 |
|
34.79 |
07°58’24” |
|
187°58’24” |
|
|
20 |
|
|
19.98 |
|
|
2+420 |
|
54.79 |
12°33’25” |
|
192°33’25” |
|
|
20 |
|
|
19.98 |
|
|
2+440 |
|
74.79 |
17°08’26” |
|
197°33’25 |
|
|
20 |
|
|
19.98 |
|
|
2+460 |
|
94.79 |
21°43’27” |
|
201°43’27” |
|
|
16.10 |
|
|
16.09 |
|
|
2+476.10 |
PT |
110.89 |
25°24’48” |
|
205°24’48” |
Se determinaron las longitudes de Arco de cuerda desde el
punto PC y se calcularon los ángulos de Deflexión para cada estación en base al
valor de la Deflexión por metro (d/m);
180*60* LA
d / m
20*125.00
Dado los siguientes datos calcular los elementos principales de la curva horizontal
P.C.=1+000
D=40
m
∆D=46°
D= πR∆D
180
R= D*180
∆D*π
R=(180)(40) = 49.82 m
46* π
G.C.= (360)(20)
2πR
G.C.= (360)(20) =
23° 00’ 00”
2π(49.82) T = R*tanG.C.
T = (49.82)(tan 23°
00’ 00”) T = 21.15 m
C.M.= 2R(sen ∆D/2)
C.
M.=(2)(49.82)(sen 23° 00’
00”)
C.M. = 38.93 m
E= R[1/(cos ∆D/2 )- 1]
E= (49.82)( 1/(cos
23 )- 1]
E=4.30 m
M= (49.82)(1-cos23)
M=3.96 m
ESTACIONES:
Est. PC = 1+000
Est. PT = Est. PC + D
Est. PT =1+040
Est. PI = Est. PC + T
Est. PI =1+021.15
Si
Grado de Curvatura – Cuerda
|
0° - 6° |
20 m |
|
6°
- 15 |
10 m |
|
15° - 32° |
5 m |
δ= 1.5 G.C.*Long.
Cuerda/60 δ=(1.5)(23)(5)/(60) δ=2° 52’30”
De manera Tabular los valores serán:
|
PUNTO |
ESTACION |
CUERDA |
DEFLEXION |
ε
DEFLEXION |
|
PC |
1+000 |
--------- |
00°
00’00” |
00°
00’00” |
|
|
1+005 |
5 |
2°
52’30” |
02°
52’30” |
|
|
1+010 |
5 |
2°
52’30” |
05°
45’00” |
|
|
1+015 |
5 |
2°
52’30” |
08°
37’30” |
|
|
1+020 |
5 |
2°
52’30” |
11°
30’00” |
|
|
1+025 |
5 |
2°
52’30” |
14°
22’30” |
|
|
1+030 |
5 |
2°
52’30” |
17°
15’00” |
|
|
1+035 |
5 |
2°
52’30” |
20°
07’30” |
|
PT |
1+040 |
5 |
2°
52’30” |
23°
00’00” |
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