Cálculo de poligonales

    I.            POLIGONALES CON TEODOLITO

Es la red de apoyo, que como su nombre lo indica tiene la forma de polígono, es utilizada en terrenos de mediana extensión, aunque si se conforma una red de varias poligonales, se puede utilizar en levantamiento de extensiones considerables por la forma de cálculo se hace necesario contar con las longitudes de los lados y la amplitud de sus ángulos, motivo por el cual no es recomendable cuando el terreno es accidentado.

      i.            POLIGONAL ABIERTA

Es la línea quebrada de levantamiento cuyos puntos extremos no llegan a formar cerrada o polígono cerrado. Este tipo de poligonal es conveniente cuando se trata de levantamientos donde el terreno es de forma alargada y con poco ancho, tal como levantamientos para estudios de carreteras, vías férreas, canales, etc.

 

               ii.            POLOGONAL CERRADA

Es la poligonal que el último lado llega al primer vértice o estación, de tal manera que el trazo es cerrado, de allí su nombre. Para definir el tipo de poligonal a usar para un determinado levantamiento topográfico de un terreno, este está en función del tamaño de terreno.

II. ORIENTACIÓN DE LAS POLIGONALES

      i.            POLIGONAL ORIENTADA

Cuando se observa una poligonal orientada, el instrumento está orientado en cada uno de los puntos o estaciones que componen la poligonal.

Se estaciona el aparato en el punto inicial A y se orienta, para lo que será necesario conocer el acimut θA R, de una dirección AR. Seguidamente se visa al punto B, sobre el que se hacen las medidas de ángulos y distancias necesarias para situar dicho punto por radiación. Al estar el aparato orientado, la lectura acimutal que se haga sobre B será el acimut θA B, de tal dirección. Después se traslada el aparato a B, la dirección de referencia será BA ya que el azimut de θB A es conocido, por ser el recíproco de θA B, medido en A. Radiamos desde B el punto C y nos trasladamos a él, se orienta utilizando el azimut θB C reciproco de θC B , continuándose así hasta el final de la poligonal.

 

   ii.            POLIGONAL NO ORIENTADA

Se estaciona en el punto de inicio de la poligonal A y con la lectura acimutal cualquiera se visa a R. Después se realiza la observación completa sobre B. Es evidente que por diferencia de lecturas acimutales se podrá conocer el ángulo que la dirección AB forma con la AR. En B se visa a A con una lectura arbitraria y seguidamente se efectúan las observaciones necesarias sobre C, con lo que se podrá calcular el ángulo en B. Se continúa de forma análoga hasta finalizar en E, donde se deberá visar también a R’ para conocer el ángulo de dicha estación. Con las referencias y conocidos los azimuts de las direcciones observadas, se pueden posteriormente calcular los azimuts de todos los lados o tramos de la poligonal y llegar a conocerse el error de cierre de la poligonal. Para poder conocer el error de cierre se utiliza la corrida de azimuts.

 

 

III.            LEVANTAMIENTO DE LAS POLIGONALES CON TEODOLITO Y CINTA

Los levantamientos pequeños se pueden realizar con suficiente precisión utilizando teodolito y cinta. Este fue el método de levantamiento más utilizado en topografía antes de la aparición de los distanciómetros para distancias cortas.

MEDIDA DE ANGULOS INTERIORES Y EXTERNOS, DEFLEXIONES Y AZIMUTES

      i.            CALCULO DE COORDENADAS

Para proyectar y realizar una poligonal es necesario conocer de antemano:

 

• Coordenadas del punto de salida A (XA, YA, HA).

• Azimut del vértice A a una referencia (como mínimo): θA REF.

• Coordenadas del punto de llegada D (XD, YD, HD).

• Azimut del vértice D a una referencia (como mínimo): θD REF´.

Los datos que se han obtenido en la observación mínima realizada en campo son:

• Ángulos de la poligonal.

• Distancias reducidas de los tramos por duplicado. Con estos datos procederemos a obtener las coordenadas (X, Y, H) de los vértices en los que se ha estacionado.

La altimetría se obtiene por nivelación trigonométrica compuesta. En el caso de observación que estamos planteando de redundancia mayor de observaciones, ésta será la primera fase para determinar unas coordenadas que serán consideradas como aproximadas en una segunda fase de ajuste mínimo cuadrático.

   ii.            AJUSTE DE UNA POLIGONAL CERRADA

La compensación o ajuste de una poligonal es el procedimiento mediante el cual se establece la congruencia geométrica entre los ángulos y las longitudes de una poligonal cerrada. Para llevar a cabo el ajuste se requiere, que los errores que contenga, estén dentro de las tolerancias especificas con el propósito de que no se deforme demasiado la configuración geométrica original.

 

A continuación una serie de videos para entender cada una de las cosas expuesta en este articulo y su correcta aplicación.

 

AJUSTE DE POLIGONALES TOPOGRÁFICAS PARTE 01

AJUSTE DE POLIGONALES TOPOGRÁFICAS PARTE 02

AJUSTE DE POLIGONALES TOPOGRÁFICAS PARTE 03

EJEMPLO PRÁCTICO

i.             Datos.

Estación	Distancia (m)	Lectura	Promedio	Deflexión
P1
M7	4.29	76°52’40”
M8	4.01	57°12’30”
Toma de detalles (Mojones) por deflexión VA a P3
		120°29’40”
	10.97	179°58’30”	59°28’50”	59°25’45”
		(-)300°37’20”	59°22’40”
P4		0°00’00”
Aparato en P4 VA a P3
M5	6.14	177°16’20”
M6	5.34	165°03’00”
Toma de detalles (Mojones) por deflexión VA P2
		291°28’40”
	9.97	179°59’40”	111°29’00”	111°28’40”
		111°28’20°	111°28’20”
P3		0°00’00”
Aparato P3 VA a P2
M3	3.33	103°6’00”
M4	4.14	84°15’30”
Toma de detalles (Mojones) por deflexión VA a P1
		260°58’00”
	12.79	179°57’10”	81°0’50”	80°58’46”
		80°56’40”	80°56’40”
P2		0°00’00”
Aparato en P2 VA a P1
M1	7.4	149°5’10”
M2	7.48	138°22’40”
Toma de detalles (Mojones) por deflexión VA a P4
		288°05’0”
	11.15	180°0’30”	108°4’30”	108°4’45”
		108°5’00”	108°5’00”
P1		0°00’00”
Aparato en P1 VA a P4               Az1-2=119°53’10”

 

ii.             Promedios de deflexión (poligonal externa).

Encontrando el error

360°0’00” – 359°57’56” =0°2’4”

Tolerancia angular

T=1.5’  =1.5’  = 0°3’0”

Ya que el error angular es menor que la tolerancia, se puede compensar…

Error angular= 0°2’4”/4= 0°0’31”

iii.             Deflexiones compensadas

EST.	PROCESO	DEFLEXION
P1	108°4’45” + 0°0’31.25” =	108°5’16”
P2	80°58’46” + 0°0’31.25” =	80°59’17”
P3	111°28’40” + 0°0’31.25” =	111°29’11”
P4	59°25’45” + 0°0’31” =	59°26’16”
∑=		360°0’00”

 

Calculando rumbos a partir de azimut de 1-2.

Rumbo_1-2=180° - Az_1-2

Rumbo_1-2=180° - 119°53’10” = S 60°6’50” E

Rumbo_2-3= (-)60°6’50” + 80°59’17” = 20°52’27” =S 20°52’27” W

Rumbo_3-4= 20°52’27” + 111°29’11” = 180°- 132°21’38” = N 47°38’22” W

Rumbo_4-1=-47°38’22” + 59°26’16” = 11°47’54” = N 11°47’54” E

Rumbo_1-2=11°47’54” + 108°5’16” =180° - 119°53’10” = S 60°6’50” E

Queda comprobado.

Se procede a llenar la tabla de coordenadas.

iv.             Tabla punto-punto (sin terminar).

				Proyecciones
Est.	Distan.	Deflexión	Rumbo	N(+)	S(-)	E(+)	W(-)
P1		108°5’16”
	11.15m		S 60°6’50” E		5.5558	9.6672
P2		80°59’17”
	12.79m		S 20°52’27” W		11.9505		4.5573
P3		111°29’11”
	9.97m		N 47°38’22” W	6.7177			7.3670
P4		59°26’16”
	10.97m		N 11°47’54” E	10.7382		2.2430
P1
∑	44.88m			17.4559	17.5063	11.9102	11.9243

 

Los rumbos fueron calculados con la opción “REC” de la calculadora.

∑NS=∑N-∑S=17.4559-17.5063=-0.0504

∑EW=∑E-∑W=11.9102 - 11.9243=-0.0141

Calculando precisión.

Al Norte se le suma, al Sur se le resta.

KN:1+ KNS=1+0.001441556881= 1.001441156

KS:1 – KNS=1-0.001441556881= 0.9985584431

Al Este se le suma, al Oeste se le resta.

KE:1+KEW=1+0.0005918277404= 1.000591828

KW:1+KEW=1-0.0005918277404= 0.9994081723

 

A los valores correspondiente de K para Norte, Sur, Este y Oeste, se multiplica con las proyecciones sin compensar para obtener las proyecciones compensadas.

	Proyecciones compensadas.				Coordenadas
Estación	N(+)	S(-)	E(+)	W(-)	Latitud	Longitud
P1					1000	1000
		5.5478	9.6729
P2					994.4522	1009.6729
		11.9333		4.5546
P3					982.5189	1005.1183
	6.7274			7.3626
P4					989.2463	997.7457
	10.7537		2.2443
P1					1000	1000
∑	17.4811	17.4811	11.9172	11.9172

 

 

 

Procedemos a encontrar los rumbos de cada punto hacia cada mojón y llenar la tabla punto-mojón..

v.             Tabla de punto mojón.

				Proyecciones
Est.	Dist.	Deflexión	Rumbo	N(+)	S(-)	E(+)	W(-)
P4
			N 11°47’54” E
P1		149°5’10”
	7.4m		S 19°6’56” E		6.9917	2.4233
M1
			N 11°47’54” E
P1		138°22’40”
	7.48m		S 29°49’26” E		6.4893	3,7201
M2
P1
			S 60°6’50” E
P2		103°6’00”
	3.33m		S 42°59’10” W		2.4359		2.2705
M3
			S 60°6’50” E
P2		84°15’30”
	4.14m		S 24°8’40” W		3.7778		1.6934
M4
P2
			S 20°52’27” W
P3		177°16’20”
	6.14m		N18°8’47”E	5.8646		1.9123
M5
			S 20°52’27” W
P3		165°03’00”
	5.34 m		N 5°55’47” E	5.3114		0.5517
M6
P1
			N 11°47’54” E
P4		76°52’40”
	4.29m		N 88°40’34” E	0.0991		4.2889
M7
			N 11°47’54” E
P4		57°12’30”
	4.01m		N 69°0’24” E	1.4366		3.7438
M8

Proyecciones calculadas con opción “Rec” en la calculadora.

Rumbos de cada punto hacia cada mojón de los mojones.

Rumbo_P1-M1= N 11°47’54” E + 149°5’10” = S 19°6’56” E

Rumbo_P1-M2= N 11°47’54” E + 138°22’40” = S 29°49’26” E

Rumbo_P2-M3= (-) S 60°6’50” E + 103°6’00” =S 42°59’10” W

Rumbo_P2-M4= (-) S 60°6’50” E + 84°15’30” = S 24°8’40” W

Rumbo_P3-M5= S 20°52’27” W + 177°16’20” = N 18°8’47” E

Rumbo_P3-M6= S 20°52’27” W + 165°03’00” = N 5°55’47” E

Rumbo_P4-M7= N 11°47’54” E + 76°52’40” =N 88°40’34” E

Rumbo_P4-M8= N 11°47’54” E + 57°12’30” = N 69°0’24” E

Coordenadas de los mojones.

	Proyecciones				Coordenadas
Estación	N(+)	S(-)	E(+)	W(-)	Latitud	Longitud
P1					1000	1000
		6.9917	2.4233
M1					993.0083	1002.4233
P1					1000	1000
		6.4893	3.7201
M2					993.5107	1003.7201
P2					994.4522	1009.6729
		2.4359		2.2705
M3					992.0163	1007.4024
P2					994.4522	1009.6729
		3.7778		1.6934
M4					990.6744	1007.9795
P3					982.5189	1005.1183
	5.8646		1.9123
M5					988.3835	1007.0306
P3					982.5189	1005.1183
	5.3114		0.5517
M6					987.8303	1005.6700
P4					989.2463	997.7457
	0.0991		4.2889
M7					989.3454	1002.0346
P4					989.2463	997.7457
	1.4366		3.7438
M8					990.6829	1001.4895

 

Procedemos a encontrar las proyecciones de mojón a mojón.

	Proyecciones				Coordenadas
Est.	N(+)	S(-)	E(+)	W(-)	Latitud	Longitud
M1					993.0083	1002.4233
	0.5024		1.2968
M2					993.5107	1003.7201
		1.4944	3.6823
M3					992.0163	1007.4024
		1,3419	0.5771
M4					990.6744	1007.9795
		2.2909		0.9489
M5					988.3835	1007.0306
		0.5532		1.3606
M6					987.8303	1005.6700
	1.5151			3.6354
M7					989.3454	1002.0346
	1.3375			0.5451
M8					990.6829	1001.4895
	2.3254
M1			0.9338		993.0083	1002.4233
∑	5.6804	5.6804	6.4900	6.4900

 

 

A partir de las proyecciones encontradas, pasamos a obtener los rumbos, deflexiones y distancias de por cada mojón.

vi.             Tabla mojón a mojón sin completar.

				Proyecciones
Estación	Distancia	Deflexión	Rumbo	N(+)	S(-)	E(+)	W(-)
M1				0.5024
						1.2968
M2
					1.4944	3.6823
M3
					1,3419	0.5771
M4
					2.2909		0.9489
M5
					0.5532		1.3606
M6
				1.5151			3.6354
M7
				1.3375			0.5451
M8
				2.3254		0.9338
M1
∑				5.6804	5.6804	6.4900	6.4900

 

Calculando distancias entre mojones.

                                                 

Deflexiones entre mojones.

Encontrando azimuts de cada mojón.

N68°22’2.02’’E   =   Az_M1-M2= 68°22’2.02’’

180º - S67°54’39.77’’E   =    Az_M2-M3= 112º5’20.23”

180º - S23°16’14.5’’E   =   Az_M3-M4=156º43’45.5”

S22°29’58.32’’W + 180º   =     Az_M4-M5=202°59’58.32”

S67°52’26.62’’W + 180º   =   Az _M5-M6= 247º52’26.62”

360º - N67°22’31.57’’W =    Az_M6-M7= 292°37’28.43”

360º - N21°26’5.56’’W    =    Az_M7-M8= 338º33’54.44”

N21°52’43.26’’E   =   Az_M8-M1= 21º52’43.26”

 

Deflexiones de mojón a mojón.

Deflex. M2= Az _2-3 – Az _1-2 = 112º5’20.23” - 68°22’2.02’’ = 43º43’18.21”

Deflex. M3= Az _3-4 – Az _2-3 = 156º43’45.5” - 112º5’20.23” = 44º38’25.27”

Deflex. M4= Az _4-5 – Az _3-4 = 202°59’58.32” - 156º43’45.5” = 46°16’12.82”

Deflex. M5= Az _5-6 – Az _4-5 = 247º52’26.62” - 202°59’58.32” = 44°52’28.3”

Deflex. M6= Az _6-7 – Az _5-6 = 292°37’28.43” - 247º52’26.62” = 44°45’1.81”

Deflex. M7= Az _7-8 – Az _6-7 = 338º33’54.44” - 292°37’28.43” = 45°56’26.01”

Deflex. M8= Az _8-1 –Az _7-8 = (21º52’43.26” + 360º00’00”) - 338º33’54.44” =43º18’48.82”

Deflex. M1= Az _1-2 – Az _8-1 = 68°22’2.02’’ - 21º52’43.26” = 46º29’18.76”

 

Tabla mojón-mojón

Est.	Dist.	Deflexión	Rumbo	Azimut	Diferencia de Azimut
M1
	1.3628		N68°22’2.02’’E	68°22’2.02’’
M2		43º43’18.21”			43º43’18.21”
	3.9740		S67°54’39.77’’E	112º5’20.23”
M3		44º38’25.27”			44º38’25.27”
	1.4607		S23°16’14.5’’E	156º43’45.5”
M4		46°16’12.82”			46°16’12.82”
	2.4796		S22°29’58.32’’W	202°59’58.32”
M5		44°52’28.3”			44°52’28.3”
	1.4688		S67°52’26.62’’W	247º52’26.62”
M6		44°45’1.81”			44°45’1.81”
	3.9384		N67°22’31.57’’W	292°37’38.43”
M7		45°56’26.01”			45°56’26.01”
	1.4443		N22°10’24.32’’W	338º33’54.44”
M8		43°18’48.82”			43°18’48.82”
	2.5059		N21°52’43.26’’E	21º52’43.26”
M1		46°29’18.76”			46°29’18.76
			N68°22’2.02’’E	68°22’2.02’’
∑		360°0’0”

 

Continuación de tabla mojón-mojón.

 

				Proyecciones
Est.	Dist.	Deflexión	Rumbo	N(+)	S(-)	E(+)	W(-)
M1				0.5024		1.2968
	1.3628		N68°22’2.02’’E
M2		43º43’18.21”
	3.9740		S67°54’39.77’’E		1.4944	3.6823
M3		44º38’25.27”
	1.4607		S23°16’14.5’’E		1,3419	0.5771
M4		46°16’12.82”
	2.4796		S22°29’58.32’’W		2.2909		0.9489
M5		44°52’28.3”
	1.4688		S67°52’26.62’’W		0.5532		1.3606
M6		44°45’1.81”
	3.9384		N67°22’31.57’’W	1.5151			3.6354
M7		45°56’26.01”
	1.4443		N22°10’24.32’’W	1.3375			0.5451
M8		43°18’48.82”
	2.5059		N21°52’43.26’’E	2.3254		0.9338
M1		46°29’18.76
			N68°22’2.02’’E
∑		360°0’0”		5.6804	5.6804	6.4900	6.4900

 

Encontrando área entre mojones (poligonal interna) por productos cruzados

	Coordenadas		Productos cruzados (Área)
Estación	Latitud	Longitud	Latitud	Longitud
M1	993.0083	1002.4233	996702.3902	995918.2745
M2	993.5107	1003.7201	998007.7682	995706.6998
M3	992.0163	1007.4024	999932.0941	998007.7682
M4	990.6744	1007.9795	997639.4354	996270.3061
M5	988.3835	1007.0306	993987.6344	994775.3397
M6	987.8303	1005.6700	989840.1395	994954.9884
M7	989.3454	1002.0346	990819.03	992698.5434
M8	990.6829	1001.4895	993083.6219	994487.3859
M1	993.0083	1002.4233
∑			7962869.409	7962819.306

 

7962869.409 - 7962819.306

2A =50.1030

A=50.1030/2

A_Total=25.0515 m²