División de superficies y sus aplicaciones

División de superficies

Este tema es uno de los que con mayor frecuencia se presenta en la topografía; razón por la que podemos considerarlo como uno de los temas fundamentales en la poligonometría. Se trata de separar, de la superficie de un polígono conocida previamente, un área determinada estableciendo que la línea divisoria cumpla determinadas condiciones como ser:

1º- Que la línea divisoria arranque de un punto dado de un vértice del polígono o del perímetro.

2º- Que la línea divisoria sea paralela a un lado del polígono.

3º- Que la línea divisoria sea perpendicular a uno de los lados del polígono.

Para la realización de diversos estudios con la finalidad de elaborar proyectos de Ingeniería, es necesario contar, en principio, con un plano del terreno en el que éste se efectuará, con sus características generales más sobresalientes y de interés según el tipo de proyecto, tales como infraestructura, vías de acceso, configuración, área, etc. En ocasiones, además de conocer al valor del área total del terreno en estudio, se requiere hacer divisiones de éste de acuerdo con distintos criterios, lo cual es motivo de estudio de la parte de la Topografía conocida como Agrodesia. A pesar de la importancia de este tema, la literatura no reporta una metodología general y sistematizada en la que se definan todos los casos posibles de división de terrenos que se pueden presentar; 

sino que más bien se hace referencia a situaciones particulares que se resuelven empleando las relaciones de la trigonometría, ya que se parte del conocimiento de las longitudes y orientaciones de las líneas (mediante Azimut o Rumbo) que definen los linderos del terreno, lo que dificulta la generalización de las formas de abordar y resolver los casos expuestos. 

Tomando como punto de partida lo anterior, y considerando que a partir del conocimiento de las coordenadas de los vértices del terreno a dividir, es posible, por una parte, identificar todos los casos de división de terrenos que se pueden presentar y , por otra, establecer y generalizar las metodologías

correspondientes, el presente trabajo inicia describiendo la forma de proceder para la determinación de las coordenadas de los vértices del terreno, para continuar con la definición de tres casos de división, estableciendo la metodología correspondiente para cada uno de ellos; finalmente se desarrollan ejemplos para los dos primeros casos. Es evidente que, en realidad, se pueden presentar una infinidad de situaciones para dividir terrenos, que dependen de sus dimensiones, de sus formas y del objetivo de la división, por lo que sería prácticamente imposible referirse a todos ellos; sin embargo, se considera que, en los tres casos aquí definidos, quedan involucradas las situaciones que se presentan con mayor frecuencia en el campo. 

Por último, es conveniente agregar aquí que si bien, la Agrodesia, se refiere a la división de terrenos agrícolas, toda la teoría aquí presentada es válida para la división de cualquier tipo de terrenos, con tal de que se ajusten a las consideraciones expuestas en el análisis, de modo que los casos relativos a fraccionamientos de predios urbanos con fines de venta o testamentarios, quedan incluidos en las metodologías que se desarrollan en este trabajo. 

Por todo lo anterior, cuando el trabajo se iniciará con la realización del levantamiento del terreno a dividir, lo más conveniente será hacerlo de manera que se obtengan finalmente las coordenadas de todos los vértices del mismo, para a partir de ellas calcular su área, pues es la forma más conveniente para hacerlo.  

Determinación de las Coordenadas de los Vértices del Terreno

Para obtener las coordenadas de los vértices del  terreno,  se puede  seguir cualquier procedimiento de  trabajo; sin embargo, lo más conveniente y simple es, siempre que sea posible, establecer una poligonal que tenga como vértices los mismos del terreno, de manera que se midan directamente las longitudes de los linderos y los ángulos entre ellos, lo cual conduce directamente al  conocimiento de las coordenadas, aplicando las

Expresiones 1 y 2 entre cada par de puntos consecutivos. 

X_P = X_E + DHx          (1)

Y_P = Y_E + DHy          (2)

En las ecuaciones anteriores, X_P  y Y_P son las coordenadas buscadas X y Y, respectivamente, del vértice P; X_E y Y_E, son las coordenadas conocidas del punto de partida para el cálculo (empleado como estación en el trazo); y DHx y DHy son las proyecciones rectangulares sobre el eje x y y, respectivamente de la longitud de la línea que une al vértice P y el punto de partida. 

De no ser posible el establecimiento de la poligonal por los vértices del terreno, por la presencia de obstáculos, como en el caso que se ilustra en la Figura 1, se traza una poligonal que pase lo más cerca posible de los linderos y se hacen mediciones angulares y lineales desde esa poligonal a los vértices de la propiedad, para a partir de ellos, calcular primero las longitudes y las direcciones de los linderos y, finalmente, las coordenadas de los vértices.

Pero, independientemente de cual sea la forma de proceder, si se conocen las coordenadas de los vértices del terreno, su área se puede obtener fácilmente aplicando la Ecuación 3, que se deduce en los párrafos siguientes a partir de lo expuesto por Davis y Kelly (1984). Para tal efecto supóngase que se tiene el predio de la Figura 2,  cuyos vértices son los puntos A, B, C, D y E, y sus respectivas coordenadas X y Y se han esquematizado como las distancias desde cada uno de ellos hasta los ejes y y x, respectivamente, de manera que se forman trapecios entre cada línea del polígono, sus distancias hasta cada uno de los ejes y el propio eje. Así por ejemplo, para la línea A-B se forma el trapecio A-A'-E'-E, cuyos lados son A-E, X_E, E'-A' y X_A. 

Figura 1.  Trazo de una poligonal de apoyo para la definición de vértices y linderos de un terreno.

Figura 2.  Representación esquemática de un terreno cuyas coordenadas de sus vértices se conocen, para la deducción de la Ecuación 3. 

De la Figura 2, es evidente que el área del polígono A-B-C-D-E-A es igual a la suma de las áreas de los trapecios A-B-B'-A'-A y B-C-C'-B'-B, menos las de los trapecios C-D-D'-C'-C, D-E-E'-D'-D y E-A-A'-E'-E; lo que se puede expresar como sigue, denotando por A, el área del polígono A-B-C-D-E-A y por At la de los trapecios: 

A = AABCDEA = AtABB'A' + AtBCC'B' - AtCDDD'C'B - AtDEE'D' - AtEAA'E'

Sustituyendo en la expresión anterior, las áreas de los trapecios en términos de los valores de sus lados, se obtiene:

A = 1/2(X_A + X_B )(Y_A - Y_B ) + 1/2(X_B + X_C )(Y_B - Y_C ) - 1/2(X_C + Y_D )(Y_D - Y_C ) - 1/2(X_D + X_E )(Y_E - Y_D )  - 1/2(X_E + X_A )(Y_A - Y_E )

De donde, después de hacer las operaciones indicadas, las simplificaciones posibles y ordenar los términos resultantes convenientemente, se obtiene la fórmula siguiente,  para calcular el área del polígono de la Figura 2.

En esta fórmula, puede observarse que cada uno de los términos del numerador, es igual al producto de la coordenada Y, de un vértice cualquiera y la diferencia de las coordenadas X del vértice siguiente y la del anterior; lo cual se puede ampliar para obtener la ecuación general para calcular el área de un polígono cualquiera para el que se conocen las coordenadas de todos sus vértices, que es la Ecuación 3, expuesta enseguida:

 (3) en la que: A, es el área del terreno cuyas coordenadas de sus vértices se conocen, en m²; Yi, es la coordenada Y, del iésimo vértice del terreno, en m; X_i+1, es la coordenada X del iésimo+1 vértice del terreno, en m; y X_i-1, es la coordenada X del iésimo-1 vértice del terreno, en m. 

Fundamentos Matemáticos

Como se ha indicado, cualquiera que sea el caso de división que se tenga, será conveniente contar de preferencia con las coordenadas de los vértices del terreno, de modo que con ellas se apliquen algunas conceptos del álgebra y de la geometría analítica que permitan calcular, a su vez, las coordenadas del punto o de los puntos que definan la localización de la línea divisoria; lo cual permitirá generalizar las metodologías planteadas y facilitará su programación en computadora.

Las fórmulas de la geometría analítica que se requerirán aplicar en la mayoría de los casos, y que se emplearán más adelante para el planteamiento de los casos definidos, son las que se exponen enseguida, tomadas de Lehmann (1984). La ecuación de una recta que pasa por dos puntos P₁(X₁ , Y₁ ) y P₂(X₂ , Y₂ ), se obtiene de la siguiente relación: 

Y = m (X - X₁ ) + Y₁ (4) en la que m, es la pendiente de la recta y está dada por la Expresión 5:

 Por otro lado, la distancia entre los puntos P₁  y P₂, de acuerdo con el Teorema de Pitágoras, se puede calcular con la Fórmula 6.

En los tres puntos siguientes, se desarrollan la metodología y las ecuaciones específicas para resolver los tres casos más comunes de división de terrenos que se pueden presentar. 

Metodología para División por una Línea que Pase por un Punto del Lindero del Terreno Cuyas Coordenadas se Conocen

Para ilustrar el desarrollo de la metodología para la solución de este caso, supóngase que el terreno de la Figura 3 se desea dividir en dos partes mediante una línea recta que pase por el vértice A y, de tal manera, que el área de la parte superior As (previamente especificada), sea mayor que la del polígono ABCDA, pero menor que la del polígono ABCDEA, de modo tal que la línea divisoria debe intersecar la línea DE en el punto P. 

El problema consiste, por lo tanto, en hallar las coordenadas X_P y Y_P, del punto P, tales que el área As sea igual a la del polígono ABCDPA (o lo que es equivalente, que el área inferior Ai, sea igual a la diferencia del área total del polígono con As). Ahora bien, como hay dos incógnitas, se requiere un par de ecuaciones que permitan, al resolverlos simultáneamente, encontrar sus valores; dichas ecuaciones se obtienen como sigue, para el caso que se está analizando. A) La primera ecuación se obtiene de aplicar la Expresión 3 al polígono ABCDPA, cuya área a separar As es conocida, o alternativamente, aplicando dicha expresión al polígono APEFA cuya área Ai, también es conocida. Para la primera situación la expresión de esta  ecuación es como sigue:

 

Figura 3.  División de un terreno por una línea que  pasa por uno de sus vértices.

B) La segunda ecuación se establece considerando que el punto P solución, debe estar sobre una línea cuya ecuación se conoce (la línea DE para el ejemplo), y que en consecuencia, sus coordenadas X_P y Y_P, deben satisfacer la ecuación de dicha línea, que se puede obtener aplicando simultáneamente las Expresiones 4 y 5 entre los puntos P₁(X₁ , Y₁ ) y P₂(X₂ , Y₂ ) por los que pasa. Esta consideración evidencia la importancia de identificar previamente la línea sobre la cual se localizará el punto P. 

Y_P = m (X_P - X₁) + Y₁           (8)

 Es importante aquí señalar, que si bien la metodología recién discutida, se refiere específicamente al caso analizado relativo a la Figura 3, ésta puede, por supuesto, generalizarse a cualquier caso en que la línea divisoria pase por un punto sobre el lindero del terreno, cuyas coordenadas se conocen. 

Para clarificar este caso se exponen enseguida un ejemplo numérico. Para el desarrollo del ejemplo, supóngase que el terreno esquematizado en la Figura 4 cuyas coordenadas de sus vértices se exponen en el Cuadro 1, se desea dividir en dos partes iguales mediante una línea divisoria que pase por el vértice B. Por simple inspección de la figura referida, es posible intuir que la línea divisoria pasará entre los puntos E y D; pero esto  puede y debe comprobarse calculando las áreas necesarias. 

 

Figura 4.  Esquematización de un terreno para el desarrollo de los ejemplos.

De los datos del Cuadro 1 y aplicando la Expresión 3 se tiene que el área del polígono completo es 215 101.8 m², el área del polígono BEFAB es igual a 87 130.88 m² y la del polígono BCD es 76 239.63 m², siendo estos últimos dos valores menores que la mitad del área del polígono completo que es igual a 215 101.8/2 = 107 550.9 m². El cálculo anterior muestra que, en efecto, la línea divisoria BP debe estar sobre la línea definida por los vértices E y D, como se ilustra en la Figura 5. 

La primera ecuación del sistema se obtiene al aplicar la Expresión 7 al polígono inferior a la línea divisoria BPDCB, cuya área Ai es igual a 107 550.9 m²: 

Ai = ½[Y_B(X_P - X_C) + Y_P(X_D - X_B) +

Y_D(X_C - X_P) + Y_C(X_B - X_D)]

Sustituyendo todos los valores conocidos se tiene:  

2x107550.9 = 760.389(X_P - 1525.888) + Y_P(1554.615 - 1081.422) + 971.808(1525.888 - X_P) + 636.738

(1081.422 - 1554.615) 

Cuadro 1.  Coordenadas de los vértices del terreno esquematizado por el polígono de la Figura 4.  

Vértice	Coord. X	Coord. Y
A	1000.000	1000.000
B	1081.422	760.389
C	1525.888	636.738
D	1554.615	971.808
E	1422.956	1131.632
F	1145.927	1192.473

Figura 5.  División de un terreno en dos partes iguales por una línea que pasa por su vértice C.

Después de hacer las operaciones indicadas y reducir términos semejantes, resulta la Ecuación 10:

211.419X_P - 473.193Y_P + 194771.856  = 0         (10)

Por otro lado, la segunda ecuación se obtiene sustituyendo las coordenadas de los vértices E y D, en la Expresión 9, como sigue: 

1.21392X_P + Y_P - 2858.98675 = 0            (11)

Resolviendo simultáneamente las Ecuaciones 10 y 11, se obtienen los valores buscados de las coordenadas X_P y Y_P del punto P, que son: 

X_P  = 1474.930 m;  Y_P  = 1068.540 m

Metodología para División por una Línea de Dirección Dada

En este punto se analiza la forma de proceder cuando la línea divisoria debe tener una dirección dada, lo cual puede especificarse de diversas maneras; aunque lo más conveniente en todos los casos será expresar finalmente la dirección de la divisoria con el valor de su pendiente, ya que con este valor se podrá obtener una de las ecuaciones que definirá la ubicación de los puntos sobre líneas del polígono por donde dicha divisoria cruzará.  Las tres formas más comunes en que se puede indicar la dirección de la línea divisoria y la forma de calcular su pendiente, son las que se presentan a continuación. 

 Figura 6.  Representación esquemática de un terreno para ser dividido por una línea de dirección conocida.

1. Se conoce el Azimut o el Rumbo de la Línea. En este caso se debe emplear la Expresión 12 para calcular la pendiente m de la línea; en la que AzD, es el Azimut proporcionado de la línea divisoria. Lógicamente, si el valor conocido es el del Rumbo de la divisoria, debe calcularse su correspondiente Azimut, antes de aplicar la Expresión 12. 

m = cot (AzD)           (12)

2.  La línea divisoria debe ser paralela a un lindero del terreno. Como se sabe, la pendiente de dos líneas paralelas cualesquiera es la misma, la cual se puede calcular para esta situación, aplicando la Expresión 5 para los puntos que definen el lindero al cual es paralela la divisoria.

3.  La línea divisoria debe ser perpendicular a un lindero del terreno. Para este caso, se calcula primero la pendiente de la línea que es lindero del terreno con la Expresión 5; al valor obtenido se le saca su recíproco y se le cambia de signo, y el valor resultante será la pendiente m de la línea divisoria. 

Una vez conocida la pendiente de la divisoria y el área a separar, se trazan paralelas a ésta a partir de los vértices conocidos que se consideren "a ojo" como límites entre los cuales quedará finalmente ubicada la línea divisoria; tal como las líneas SS ' y VV ' de la Figura 6.

En dicha figura, como para las líneas referidas se conoce su pendiente y un punto por el que pasan, se

puede obtener su ecuación aplicando la Expresión 4;  las coordenadas de los puntos S ' y V ' se pueden hallar resolviendo simultáneamente los sistemas de ecuaciones para las rectas SS ' y RV y para las rectas VV ' y ST, respectivamente; conocidas las coordenadas de V ' y S ' se pueden calcular las áreas de los polígonos S'RSS' y VV'TUV, con las que se puede definir con toda certeza sobre qué líneas del polígono original deberán ubicarse los puntos P y Q, a fin de que la línea divisoria definida por ellos, proporcione las áreas a separar. En la Figura 7, el punto P debe quedar sobre la línea RV y el punto Q sobre la ST, cuyas ecuaciones se conocen. 

 Figura 7.  División del terreno de la Figura 4 por una línea divisoria paralela a su lindero CD.  

Hecho lo anterior, el problema consiste en determinar las coordenadas X_P  y  Y_P  del punto P  y X_Q  y Y_Q  del punto Q, para lo cual se requieren necesariamente cuatro ecuaciones, cuya obtención se analiza en los cuatro incisos siguientes.

A). La primera ecuación resulta de sustituir las coordenadas de P y Q que se buscan, en la Expresión 5, en la que m, es conocida. 

 B). La aplicación de la Expresión 3 al cálculo del área a separar, involucrando los vértices P y Q, proporciona la segunda ecuación que resulta del tipo (14). 

Para la Figura 6, el cálculo del área se puede hacer tanto para el polígono PRSQP, como para el PQTUVP, pues ambas áreas se conocen e involucran a los puntos P y Q.  

C). Puesto que el punto P debe, necesariamente, localizarse sobre una línea cuya ecuación se conoce (para el caso de la Figura 6, sobre la línea RV), la tercera ecuación resulta de sustituir en lugar de las variables de la ecuación de dicha línea, las coordenadas del punto P, que es idéntica a la Expresión 9. 

D). La cuarta ecuación del sistema resulta de manera análoga que la tercera, al sustituir las coordenadas del punto Q en la ecuación de la línea sobre la cual este punto se localiza. 

Las coordenadas de P y Q se determinan al resolver simultáneamente las cuatro ecuaciones planteadas, y conocidas éstas pueden calcularse las distancias convenientes o necesarias para la ubicación en campo de los puntos P y Q. 

Para ilustrar esta metodología se expone en seguida un ejemplo. Se desea dividir el terreno de la Figura 4, mediante una línea divisoria que sea paralela al lindero CD y de tal manera que el área del lado derecho de dicha línea divisoria sea 60 % del área total A del terreno.

Para resolver el problema, primero se calcula el área Ad a separar del lado derecho de la línea divisoria:

Ad = 0.6 x A = 0.6 x 215101.8 m² = 129061.08 m²;

luego, se calcula la pendiente de la línea CD, que será igual a la de todas las líneas paralelas a ella; dicho cálculo se hace aplicando la Expresión 5 entre dichos puntos:

Por inspección, y de acuerdo con el valor del área, que es ligeramente mayor que la mitad del total, se puede inferir que la línea divisoria intersecará las líneas EF y BC; para verificar lo anterior, se trazan dos líneas paralelas al lindero CD, una por el punto E y otra por el punto F, generando los puntos E' y F', en las intersecciones respectivas con la línea BC, tal como se muestra en la Figura 7. Las ecuaciones de las líneas EE' (15) y FF' (16), se obtienen aplicando la Expresión 4, con m = 11.66394; y la Ecuación 17 resulta de aplicar simultáneamente las Expresiones 5 y 4, como sigue:

Y_EE’ = 11.66394 (X_EE’ - 1422.956 ) + 1131.632

   11.66394X_EE' - Y_EE' - 15465.64141 = 0             (15)

Y_FF’ = 11.66394 (X_FF’ - 1145.927 ) + 1192.473

   11.66394X_FF'' - Y_FF' - 12173.55077 = 0             (16)

 -0.27820X_BC - Y_BC + 1061.24196 = 0       (17)

Resolviendo simultáneamente las Ecuaciones 15 y 17 por un lado y 16 y 17 por otro, se obtienen las coordenadas de los puntos E' y F', respectivamente: 

X_E' = 1383.910 Y_E' = 676.237

X_F' = 1108.240 Y_F' = 752.929

Con las coordenadas de E’ y F’ y aplicando la Expresión 3, se calculan las áreas de los polígonos

EDCE’E y FEDCF’F

A_EDCE'E  =  57452.0 m²

AFEDCF’F = 183748.5 m2

De las que es evidente que la línea divisoria PQ, estará intermedia a las líneas EE' y FF' y, por lo tanto, intersecará las líneas EF y BC. 

Antes de plantear el sistema de ecuaciones a resolver para hallar las coordenadas de P y Q, se obtiene la ecuación de la línea EF, a partir de la Expresión 9, que es la siguiente:

 -0.21960X_EF - Y_EF + 1444.14104 = 0        (18)

La primera ecuación del sistema a resolver se obtiene aplicando la Expresión 13 para la pendiente conocida de la línea divisoria, resultando:

(Y_Q -1131.632)X_P + (1422.956 - X_Q)Y_P + 636.738X_Q -1525.888Y_Q + 611277.6172 = 0      (20)

Por último, sustituyendo X_P y Y_P en la Expresión 15, se tiene la tercera Ecuación 21 del sistema y, de manera análoga, sustituyendo X_Q y Y_Q en la Expresión 17, se obtiene la cuarta Ecuación 22, las cuales se exponen en lo que sigue:

-0.21962XP - YP + 1444.14104 = 0	(21)
-0.27820XQ - YQ + 1061.24196 = 0	(22)

Resolviendo el sistema de Ecuaciones 19, 20, 21 y 22, se obtienen los siguientes valores para las coordenadas de los puntos P y Q:

X_P = 1267.090 Y_P = 1165.863

X_Q = 1228.811 Y_Q =  719.385

Metodología para División por una Línea Recta que Pase por un Punto del Interior del Terreno

Se analiza ahora el caso en el que se define un punto intermedio del terreno por el cual debe pasar la línea divisoria, así como el valor del área a separar. En todos los casos similares, se debe conocer la ubicación en campo del punto intermedio, lo cual permite conocer sus coordenadas; por lo tanto, el problema consiste en hallar las coordenadas de los puntos P y Q ubicados sobre los linderos del terreno, tales que se cumplan las dos condiciones impuestas; es decir, que la divisoria pase por el punto intermedio I(X_I,Y_I ) y que se separe el área especificada. Lo anterior se ilustra en la Figura 8.

Se tienen, por lo tanto, que determinar las coordenadas X_P, Y_P, X_Q y Y_Q, de los puntos P y Q; de manera que se trata de un caso similar que el discutido en el punto anterior; la diferencia con aquel estriba en la forma de determinar la posición de los puntos P y Q y

la de plantear la primera  de las ecuaciones  del sistema a resolver, ya que la obtención de las tres ecuaciones restantes es totalmente similar. 

 Figura 8.  División de un terreno por una línea que debe pasar por un punto intermedio del terreno.  

Para definir los linderos sobre los cuales se ubicarán los puntos P y Q, se debe empezar por trazar líneas desde todos y cada uno de los vértices del terreno pasando por el punto intermedio I, tales como las líneas AA', BB', CC', DD' y EE' en la Figura 8; obteniendo posteriormente sus ecuaciones aplicando simultáneamente las Expresiones 5 y 4 para cada una, con las coordenadas del vértice correspondiente y las del punto I. En seguida y aplicando las mismas expresiones entre los vértices correspondientes, se obtienen las ecuaciones de cada uno de todos los linderos del terreno, de modo que, resolviendo simultáneamente las ecuaciones de cada línea que pasa por el punto I, con la del lindero en el que cada una de ellas corta, se conocen las coordenadas de los puntos A', B', C', D' y E'. 

El siguiente paso consiste en calcular cada una de las áreas parciales generadas por los linderos del terreno y las líneas trazadas por el punto I; es decir, para la Figura 9, las áreas de los polígonos: ABCA'IA, BCDB’IB, CDEC’IC, DEAD’ID y EABE’IE. Con este último cálculo se obtienen las áreas entre cada par consecutivo de líneas que cruzan por el punto I siendo lineal la variación del área entre una y otra; por lo que se puede averiguar fácilmente entre cuál par de ellas se ubicará la línea PQ y, en consecuencia, sobre qué linderos se localizará cada uno de estos puntos.

Aunque, ciertamente el trabajo anterior es bastante tedioso, es totalmente necesario, pues sólo haciéndolo se garantiza la localización de los puntos P y Q, lo cual, como se hizo notar en el caso anterior, es de extrema importancia al momento de establecer dos de las  ecuaciones del sistema, que permitirán encontrar las coordenadas buscadas de los puntos P y Q. Este trabajo previo hace, de hecho, a este caso como el más laborioso; sin embargo, es común en la práctica que se presente y, por lo tanto, se consideró necesario abordarlo. 

Como ya se dijo, la única diferencia en el establecimiento de las ecuaciones del presente caso respecto del caso discutido en el punto anterior, se refiere al planteamiento de la primera ecuación; en efecto, ya que aquí no se conoce la pendiente de la línea divisoria, y en su lugar se cuenta con las coordenadas del punto I, por donde ésta debe pasar, la primera ecuación se establece aplicando las Expresiones 4 y 5 a los puntos P y Q y sustituyendo en ellas, en lugar de las variables X y Y, las coordenadas conocidas de I, tal como se expone a continuación. 

 (Y_I + Y_P - Y_Q)X_P + (1 - X_I)Y_P - Y_IX_Q + X_IY_Q = 0    (23)

En la que X_I y Y_I son las coordenadas conocidas del punto intermedio I.

Respecto a la segunda ecuación, que se obtiene a partir de la Expresión 3, es conveniente solamente añadir que, a pesar de que el punto I está sobre la línea PQ y no proporciona en realidad información adicional para el cálculo del área del polígono generado, sus coordenadas deben incluirse en dicha expresión, ya que ello permitirá contar con una ecuación lineal simple, en lugar de la que se obtuvo en el caso anterior, que implica productos de las variables. 

Continuando con los datos de anterior entrada al blog "Calculo de poligonales", tendríamos lo siguiente:

i.             División de terrenos en 2 partes iguales

	Coordenadas		Productos cruzados (Área)
Estación	Latitud	Longitud	Latitud	Longitud
M1	993.0083	1002.4233	996702.3902	995918.2745
M2	993.5107	1003.7201	1000865.064	995706.6998
M3	992.0163	1007.4024	999932.0941	998007.7682
M4	990.6744	1007.9795	997639.4354	996270.3061
M5	988.3835	1007.0306	990778.6497	999989.7442
M1	993.0083	1002.4233
∑		2A=	4985917.633	4985892.793
		2A=	4985917.633 - 4985892.793
		A=	24.8402/2
		A=	12.4201m2

           

No es el área buscada.

Encontramos Px

Est.	N(+)	W(-)	Latitud	Longitud
M5			988.3835	1007.0306
	4.6248	4.6073
M1			993.0083	1002.4233

Encontrando proyecciones de Px.

Ocupando opción “REC” en la calculadora tenemos:

S=0.0132

W=0.0325

Est.	s(-)	W(-)	Latitud	Longitud
M5			988.3835	1007.0306
	0.0132	0.0325
Px			988.3703	1006.9981

Ahora las coordenadas de Px.

	Coordenadas		Productos cruzados(Área)
Est.	Latitud	Longitud	Latitud	Longitud
M1	993.0083	1002.4233	996702.3902	995918.2745
M2	993.5107	1003.7201	1000865.064	995706.6998
M3	992.0163	1007.4024	999932.0941	998007.7682
M4	990.6744	1007.9795	997639.4354	996270.3061
M5	1007.0306	1007.0306	995300.3066	995319.1362
Px	988.3703	1006.9981	990765.4177	999957.4714
M1	993.0083	1002.4233
∑		2A=	5981204.708	5981179.656
		2A=	5981204.708 - 5981179.656
		A=	25.0514/2
		A1	12.5257 m2

	Coordenadas		Productos cruzados (Área)
Est.	Latitud	Longitud	Latitud	Longitud
M1	993.0083	1002.4233	999957.4714	990765.4177
Px	988.3703	1006.9981	993974.3596	994743.2352
M6	987.8303	1005.6700	989840.1395	994954.9884
M7	989.3454	1002.0346	990819.03	992698.5434
M8	990.6829	1001.4895	993083.6219	994487.3859
M1	993.0083	1002.4233
∑			4967674.622	4967649.571
		2A=	4967674.622 - 4967649.571
		A=	25.0518/2
		A2=	12.5258m2

Sumando ambas áreas témenos el área total:

AT=12.5257 m^{2 +}12.5258m²

AT=25.0515 m²                (misma área que teníamos desde el inicio)

CONCLUSION

Como conclusión general de la metodología desarrollada se puede referir que ésta es de aplicabilidad general ya que tipifica los casos de división que más comúnmente se presentan en campo y sistematiza los cálculos a realizar para cada uno, lo cual constituye una excelente herramienta para la realización de este tipo de trabajos de ingeniería, ya que anteriormente no se contaba sino con metodologías aplicables a casos específicos que de ninguna manera podían generalizarse y, por lo tanto, cada situación debería analizarse de manera particular.

La metodología planteada es aplicable no solamente a problemas de división de terrenos agrícolas sino también  a los correspondientes a terrenos urbanos o fraccionamientos.

EJEMPLOS DE METODOS DE DIVISION DE TERRENOS

Ejemplo A #1 división de terreno / agrodesia / Topografía

Ejemplo A #2 división de terreno / agrodesia / Topografía